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这个斑斓的分形图形就是时的朱利亚集
这个斑斓的分形图形就是时的朱利亚集。假如我们把换成此外数，好比呢？这将会带来另外一个完整差别的分形图形，图8就是所对应的朱利亚集。
你能够留意到一个风趣的究竟：全部线条的长度每次都酿成了本来的。假如最后的线段长度为一个单元，那末第一次操纵后总长度酿成了，第二次操纵后总长度增长到，第次操纵后总长度为。毫无疑问，操纵有限停止下去，这条曲线将到达有限长。难以置信的是这条有限长的曲线却“一直只要那末大”。
究竟上，关于复数函数，每取一个差别的复数，我们都能获得一个差别的朱利亚集分形图形，而且使人受惊的是，每个分形图形都是那末斑斓，此中有些典范的朱利亚集以至有它本人的名字。图9就是时的朱利亚集，俗称“飞机”。
曼德尔布罗特集里值得放大的处所太多了。认真看看曼德尔布罗特集最上方的红色触须里，是否是有一些小斑点？让我们放大一下，看看它们终究是甚么吧（见图15）。
谢尔宾斯基三角形另有一些非递归的机关。1983年，斯蒂芬•沃尔夫勒姆（Stephen Wolfram）发明一样平常糊口英语单词，在一个网格中，从一个玄色格子开端，不竭按划定规矩天生下一行的图形（见图5），也能获得谢尔宾斯基三角形。这类图形天生办法有一个很酷的名字，叫做“细胞主动机”。
图14则展示了曼德尔布罗特集最右侧谁人深沟的景观，它也有一个名字，叫做“大象谷”（elephant valley）。
如今，我们像图2那样，把3条如许的曲线首尾相接构成一个封锁图形糊口常识小百科软件下载。这时候，风趣的工作发作了，这个雪花状的图形有着有限长的鸿沟，可是它的总面积倒是有限的。有人能够会说，为何面积是有限的呢？固然从图2看结论很明显，但这里我们仍是要给出一个简朴的证实。3条曲线中每条在第次迭代前都有条长为的线段，迭代后多出的面积为个边长为的等边三角形。把扩展到，再把一切边长为的等边三角形扩展为一样边长的正方形，总面积还是有限的，由于无量级数是收敛的。很难信赖糊口倒影在线，这一块有限的面积，居然是用有限长的曲线
许多分形图形的维度都介于1和2之间。好比说谢尔宾斯基（Sierpinski）三角形：像图3那样，把一个三角形分红4等份，挖掉中心那一份，然后持续对别的3个三角形停止如许的操纵糊口常识小百科软件下载，而且有限地递归下去。每次迭代后全部图形的面积城市减小到本来的，因而终极获得的图形面积明显为0。因此和科赫曲线恰好相反，它曾经不克不及算二维图形了，但说它是一维的仿佛也有些过了。究竟上，它的豪斯道夫维度是生活中的数学小例子，也是一个介于1和2之间的图形。
谢尔宾斯基三角形有一个奇异的性子：假如某一个地位上有点（没被挖去），那末它与原三角形极点的连线上的中点处也有点。这给出了一个更加诡异的谢尔宾斯基三角形机关办法：给出三角形的3个极点，然后今后中一个极点动身，每次随机向随便一个极点挪动的间隔（走到与谁人极点的连线的中点上），并在该地位作一个标识表记标帜；有限次操纵后一切的标识表记标帜就构成了谢尔宾斯基三角形。
有一个主要的定理指出，一个朱利亚集是连通的糊口倒影在线，当且仅当在这个朱利亚集里。换句话说，为了判定一个朱利亚集能否连通，我们只需求测试一下时的迭代成果便可。因而，我们有了曼德尔布罗特集的一个等价的界说，也就是一切不会让零点发散的复数构成的汇合。图12实在就是根据这个道理建造的，此中玄色的地区暗示曼德尔布罗特集，即那些不会让零点发散的复数；其他的点所对应的复数都将会让零点发散，淡色代表发散慢，深色代表发散快。
因为复数对应了平面上的点，因而我们能够用一个平面图形直观地展示出朱利亚集。我们用玄色暗示一切属于朱利亚集的；关于其他的一样平常糊口英语单词，我们用差别的色彩来区分差别的发散速率，色彩越浅暗示发散速率越慢，色彩越深暗示发散速率越快糊口倒影在线。难以置信，由此获得的图形居然是一个看上去十分庞大的分形图形（见图7）。
如今，我们把这个函数扩大到全部复数范畴。关于复数，取差别的值和值，函数迭代的成果纷歧样：关于有些，函数值一直束缚在某一范畴内；而关于另外一些，函数值则将发散到无量。我们把满意前一种状况的一切初始值所构成的汇合称为朱利亚集，它是以法国数学家加斯顿•朱利亚（Gaston Julia）的名字定名的。
思索函数。牢固的值后，我们能够经由过程不竭地迭代算出一系列的值：,,, …。好比，其时，我们能够顺次迭代出：
讲数学之美，分形图形是不成不讲的。假如说有甚么工具可以让数学和艺术间接联络在一同一样平常糊口英语单词，谜底毫无疑问就是分形图形。
数学科普大神顾森的这本《考虑的兴趣》就从“糊口中的数学”、“数学之美”、“多少的大厦”、“精巧的证实”和“思想的标准”五个维度，用了大批的案例来展示数学的兴趣，每个读过的人城市被深深吸收。这是一个酷爱考虑的年青人积累的让人一读就不能自休的兴趣书。
因而，我们天然想到了一个成绩：哪些复数对应着连通的朱利亚集呢？数学家贝努瓦•曼德尔布罗特（Benoit Mandelbrot）是最早对这个成绩停止体系研讨的人之一生活中的数学小例子，因而我们凡是把一切使得朱利亚集构成一块连通地区的复数所构成的汇合叫做曼德尔布罗特集。留意，曼德尔布罗特集也是一个由复数组成的汇合，它也能表如今一个平面上。奇异的是，曼德尔布罗特集自己居然又是一个标致的分形图形（见图12）！
图10则是所对应的朱利亚集。它也有一个形象的名字——杜瓦地兔子。这是以法国数学家阿德里安•杜瓦地（Adrien Douady）的名字定名的。
在数学开展的过程当中，许多时分提出新的数学成绩，创始新的数学范畴，最后的念头并非注释糊口中的征象，而是由于它自己的美好。险些一切的数学家都以为数学是漂亮的。而一般人要怎样感触感染数学的美呢？
分形这一课题提出的工夫比力晚。科赫曲线年提出，是最早提出的分形图形之一。我们认真察看一下这条出格的曲线。它有一个很强的特性：你能够把它分红多少部门，每个部门都和本来一样（只是巨细差别）。如许的图形叫做“自类似”（self-similar）图形糊口倒影在线。自类似是分形图形最次要的特性，它常常都和递归、无量之类的工具联络在一同。好比，自类似图形常常是用递归法机关出来的，能够有限地合成下去糊口常识小百科软件下载。一条科赫曲线包罗有没有数巨细差别的科赫曲线。你能够对这条曲线的尖端部门不竭放大，但你所看到的一直和最开端一样。它的庞大性不随标准减小而消逝。别的值得一提的是，它是一条持续的，但到处不滑腻（不成微）的曲线糊口倒影在线。曲线上的任何一个点都是尖点。
《考虑的兴趣》出书至今，收到了十余万的读者的喜欢。明天就拔取此中最能代表数学之美的”分形“，分享给各人。
让我们先来看一个简朴的例子。起首画一个线段，然后把它中分成三段糊口常识小百科软件下载，去掉中心那一段并用两条等长的线段替代糊口常识小百科软件下载。如许，本来的一条线段就酿成了四条小的线段。用不异的办法把每条小的线段的中心三分之一交换成一座小山，获得了16条更小的线条线段停止相似的操纵，并有限地迭代下去。图1是这个图形前五次迭代的历程，能够看到第五次迭代后图形曾经相称庞大，我们曾经没法看清它的局部细节了。
你会发明，它们居然是曼德尔布罗特集自己的外形！此时，你该当能领会到曼德尔布罗特集的深遂与奥秘了吧。
不外，并非一切的复数都对应了一个连通的朱利亚集。图11所示的就是时的朱利亚集。这仍旧是一个标致的分形图，但它和前面的图象有一个很大的区分——图象里不再有连通的玄色地区了。这是由于，真正属于朱利亚集的点都是一个个离散的点（散布在图中的各个红色亮斑中），我们曾经没法从图象上间接察看到了。我们能看到的，都是那些将会招致函数值发散到无量的点，只是它们的发散速率有所差别。
这让我们开端质疑“周长”的观点了：剪下一个直径为1厘米的圆形纸片，它的周长真的就是厘米吗？拿放大镜看看，我们就会发明纸片边沿并非平坦的，上面布满了小锯齿。再用显微镜察看，说不定每一个小锯齿上也长有许多小锯齿。然后，锯齿上有锯齿，锯齿上又有锯齿，周长永久也测不完。分形范畴中有一个典范的说法，“英国的海岸线有没有限长”，实在就是这个意义。
杨辉三角与谢尔宾斯基三角形之间也有难以想象的干系。如图6，把杨辉三角中的奇数和偶数用差别的色彩区分开来，你会发明由此获得的恰是谢尔宾斯基三角形。也就是说，二项式系数（大概说组合数）的奇偶性居然能够表示为一个分形图形糊口常识小百科软件下载！这相称于给出了谢尔宾斯基三角形的第五种机关办法。操纵简朴的代数办法天生云云文雅的图形，其实是使人蔚为大观。请记着谢尔宾斯基三角形这个最典范的分形图形，由于在将来的某个时辰，我们将会在某个出人预料的处所用到它。
分形图形有一种特别的计较维度的办法。我们能够看到，在有限空间内就可以够到达有限长的分形曲线仿佛曾经逾越了一维的地步，但说它是二维图形又还不敷。1918年，数学家费利克斯•豪斯道夫（Felix Hausdorff）提出了豪斯道夫维度，它就是特地用来对于这类状况的。简朴地说，豪斯道夫维度形貌了对分形图形停止缩放后，图形所占空间巨细的变革与类似比的干系。比方，把正方形的边长扩展到本来的2倍后，正方形的面积就将变本钱来的4倍；若把正方形的边长扩展到本来的3倍，则其面积就将变本钱来的9倍。究竟上一样平常糊口英语单词，两个正方形的类似比为1:a，它们的面积比就该当是1:a2生活中的数学小例子，谁人指数2就是正方形的豪斯道夫维度。相似地，两个立方体的类似比为1:a，它们的体积比就是1:a3，这就报告了我们，立方体的豪斯道夫维度是3。但是，一条大科赫曲线条小科赫曲线，但巨细科赫曲线。也就是说，把小科赫曲线倍，所占空间会变本钱来的4倍！因而科赫曲线的豪斯道夫维度为。它约即是1.26，是一个介于1和2之间的实数。直观地说，科赫曲线既曲直线，又非曲线，它介于线与面之间。
谢尔宾斯基三角形的另外一种机关办法如图4所示。把正方形分红四等份，去掉右下角的那一份，而且对别的3个正方形递归地操纵下去。挖几回后把脑壳一歪，你就可以够看到一个等腰直角的谢尔宾斯基三角形了。
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