圆周运动加速度公式：圆周运动加速度公式推导
本文发表于《中学物理》（高中）全章概述 本章研究一种特殊的曲线运动——圆周运动，仍然沿用研究机械运动的一般思
本文发表于《中学物理》（高中）
全章概述本章研究一种特殊的曲线运动——圆周运动，仍然沿用研究机械运动的一般思路，首先描述圆周运动，由于这种运动具有往复性和周期性，所以为了更准确、精细描述这种运动，引入了角速度、周期等概念；然后根据物体做曲线运动的条件，探究物体做圆周运动所需要的向心力，并且在此基础上，进一步根据牛顿定律，讨论匀速圆周运动的向心加速度；最后，联系实际，分析“火车拐弯”“汽车过拱形桥”“航天器中的失重现象”等实例。
本章的知识结构以及本章内容与“曲线运动”相关内容的联系可以用图1表示本章继承了原教科书“圆周运动的描述→圆周运动的受力分析→圆周运动的联系实际问题”的整体结构，但修订后的教科书更加突出了物理观念的形成，以及科学思维与科学探究能力的发展，从内容及其结构上主要突出以下四点变化：（。
1）结构变化把平抛运动和圆周运动拆分，突出显示从处理匀变速曲线运动（抛体运动）到非匀变速曲线运动（圆周运动）的思维层级发展；（2）强调科学探究教科书安排了探究向心力大小影响因素的学生实验，而不是首先理论分析向心加速度，然后根据牛顿第二定律推导向心力公式；（。
3）突出内容的弹性，为因材施教留出空间首先讨论匀速圆周运动的向心力，再应用牛顿第二定律讨论向心加速度，并且把应用矢量运算和极限思想讨论向心加速度的方向作为“拓展学习”内容；（4）突出知识的结构化通过问题、思考与讨论、拓展学习等栏目，揭示知识间的联系或者引入概念的物理意义；教科书正文关注内容的层级，例如，教科书在“向心力”一节中，内容安排从匀速圆周运动，到变速圆周运动，再到一般曲线运动，从特殊到一般，层层递进。
本章内容安排除了关注促进学生运动与相互作用观念的发展之外，紧密联系生产、生活实际，涉及丰富的模型建构和推理过程，以及通过实验探究影响匀速圆周运动的向心力大小的因素编者试图在引导学生通过知识和技能的理解与应用中落实物理学科核心素养课程目标。
1. 物理观念通过认识圆周运动，拓展对机械运动的类型、描述方式的认识除了用位移、速度、加速度等物理量描述圆周运动外，还需要用角速度、周期、转速等物理量，并且认识物体做圆周运动时这些物理量的特点通过认识物体做圆周运动的条件，丰富对运动与力的关系的认识。
认识到：物体做圆周运动时，速度方向时刻在改变，所受合力一定不为零；物体做匀速圆周运动时所受的合力大小不变，方向始终指向圆心，向心力只改变速度的方向，不改变速度的大小；向心力大小与物体的质量m、线速度v、半径
r有关，可以表示为；当指向圆心的力大于或者小于圆周运动所需要的向心力时，物体将做离心运动或者向心运动教科书在引导学生逐步丰富对机械运动、运动与相互作用关系的观念过程中，还有助于帮助学生形成从运动与相互作用两个角度分析。
分析机械运动的一般思路在分析做匀速圆周运动物体的向心加速度时，可以从两个角度：一是根据物体做匀速圆周运动的向心力公式，推导得出向心加速度公式；另一个是根据加速度定义，然后对时间取极限，求极短时间内的速度变化率，即可得出向心加速度公式。
2. 科学思维通过建立圆周运动模型，丰富学生头脑原有的机械运动类型匀速圆周运动是理想模型，需要满足：所受合力方向时刻指向圆心，大小不变，满足：向心力可以是某一个力，也可以是某一个力的分力或某几个力的合力。
教科书引导学生学习圆周运动向心力的分析方法：把质点所受的所有力分别在沿着半径方向和垂直半径方向分解；沿着半径方向的分力指向圆心，就充当向心力，只改变速度方向；垂直半径方向的分力只改变速度大小对匀速圆周来说，垂直半径方向的分力为零，因此物体所受的合力提供圆周运动的向心力。
通过从运动学角度分析匀速圆周运动向心加速度，深入认识极限思想首先作图得出在一段时间内的速度变化量；然后，结合极限思想，表示出在极短时间内的速度变化量大小和方向；最后根据向心加速度的定义，求得向心加速度的大小为。
，方向指向圆心其实，在高中物理中极限思想并不是第一次使用，例如，从平均速度得出瞬时速度，根据速度—时间图像求匀变速直线运动的位移，从理论上分析曲线运动的速度方向，都利用了“通过无限分割，化变为不变或者化曲为直”的思想，其实也就是极限思想。
3. 科学探究科学探究是物理学家认识客观世界的主要方式，也是学生学习物理的重要学习方式教科书以问题解决为导向，设置合适的栏目引导学生通过科学探究逐步认识物理现象、得出物理结论在“向心力”一节中，教科书首先通过生活中的实例引导学生认识到物体做圆周运动需要一个力改变其运动状态；然后通过手通过细绳拉着小物体做圆周运动，体验向心力大小与物体的质量、运动半径、运动的线速度大小等物理量之间的定性关系；最后，利用向心力演示仪或者传感器实验，定量探究向心力公式。
科学探究不仅是动手的过程，更是动脑的过程，教科书充分重视实验前的猜想假设、实验后的推理论证、科学解释与误差分析等思维过程，引导学生体会物理实验与思维之间的关系教科书内容安排“向心力”在前、“向心加速度”，试图引导学生充分体验猜想假设、实验设计的探究过程，也强调利用牛顿第二定律对向心力公式的科学解释，这正是加强物理实验与科学思维整合的具体表现。
4. 科学态度与责任认识客观世界的途径不是唯一的，可以有多种途径通过理论分析和实验探究是探索未知世界的两个不同路径，但从两个角度探索的过程中有其共性，一般都是先进行定性分析，然后进行定量推导或者实验探究，并且两种途径得出的结果具有一致性。
具体可以表现在探究向心力大小的过程中：既可以通过实验探究得出影响向心力大小的因素；也可以通过对匀速圆周运动的分析得出向心加速度，然后根据牛顿第二定律求得向心力大小还可以表现在向心加速度大小和方向的分析过程中。
圆周运动在生活中有广泛的应用，是“有用的”，从游乐场里的摩天轮、魔盘，到交通中的火车拐弯和汽车过拱形桥，再到航天器中的失重现象，无一例外都可以用圆周运动的知识进行解释说明修订前后的教科书关于圆周运动的内容都是四节，但顺序略有调整，修订后的教科书把“向心力”一节放在“向心加速度”之前，目的在于突出科学探究和体验在物理学习中的价值。
本章的课时安排建议如下：1. 圆周运动 1课时2. 向心力 2
课时3. 向心加速度 1课时4. 生活中的圆周运动 2
课时具体说明教科书把落实物理学科核心素养的课程目标渗透到知识学习的每一个环节，体现在教科书的各个栏目之中具体来说，本章在编写时充分考虑如下几个方面1. 通过调整教科书结构与栏目设置，多途径引导学生深层理解。
与其他章节类似，本章教科书除了正文之外，还设置了问题、做一做、思考与讨论、扩展学习等形式多样的栏目通过这些栏目引导学生深层理解物理概念与规律，并且能用这些物理概念、规律解释现象或者解决问题，促进学生运动与相互作用观念的进一步发展。
教科书提供了丰富的现象与事实，引导学生在充足的事实经验基础上进行抽象、概括与推理，建构概念或者得出规律涉及的现象与事实既包括日常生活中学生司空见惯的自行车，还包括游乐场里的游戏项目，天宫二号空间实验室在轨飞行等。
这些现象和事实不仅是学生认知的基础，也是发展学生物理学习兴趣的素材教科书的引导语或者“问题”栏目为揭示概念的物理意义做了铺垫例如，教科书在引入角速度概念时，引导语是这样的“自行车前进时，由于链条不可伸长，也不会脱离齿轮打滑，因而大、小齿轮边缘的点在相等时间内通过的弧长是相等的，即线速度大小相等。
但同时也可注意到，由于两个齿轮的直径不同，相等时间内它们转过的角度不同”教科书通过上述引导语力图引导学生理解：线速度和角速度都是描述圆周运动的物理量，两者描述的角度不同同样的，教科书在引入圆周运动的周期概念时，也注重揭示概念的物理意义。
教科书不仅注重对具体概念建构过程的引导，还通过结构调整，引导学生形成结构良好的概念体系教科书的第一节从运动学的角度描述圆周运动，进一步丰富和发展了学生对机械运动的认识，这是学生第一次认识到具有周期性特征的机械运动，也初步掌握了描述圆周运动的物理量；第二节实验探究物体做圆周运动时的受力情况，即向心力大小的影响因素；第三节根据牛顿第二定律分析匀速圆周运动的向心加速度。
这一结构与必修1的研究思路是一致的，即首先描述机械运动，即运动学，再从受力角度分析运动的条件，动力学这一安排与原人教版教科书的安排不同，原教科书安排的主线是“描述圆周运动→向心加速度→向心力→生活中的圆周运动”。
教科书之所以采用现在的内容安排，主要目的有：第一，增强探究性在描述圆周运动基础上，引导学生思考物体做圆周运动的条件，进而通过实验分别从定性、定量层次探究影响向心力的因素，有利于加强学生的探究意识第二，强化“运动→力→运动与力的关系”的研究大思路。
这种一以贯之的内容安排不仅有利于学生丰富发展力学概念体系，也有利于学生进一步巩固在研究直线运动和平抛运动过程中形成的研究质点力学问题的大思路：描述物体的运动情况；分析质点的受力情况；根据牛顿运动定律建立运动与相互作用之间的关系。
第三，降低向心加速度理论推导的难度，丰富向心加速度得出的途径从速度变化率角度推导向心加速度公式存在两个难点：一是速度变化量的矢量运算，二是取极限，得出是的速度变化量的大小和方向教科书把“向心加速度”内容放在“向心力”内容后面，一是可以适当降低思维难度，二是丰富向心加速度的推导思路，既可以根据速度变化量求得，也可以根据牛顿第二定律和向心力公式求得。
教科书单独安排“生活中的圆周运动”一节，试图让学生应用圆周运动的知识解释物理现象和解决物理问题，通过知识应用，促进学生进一步理解运动与相互作用的关系，发展学生的运动与相互作用观念2. 借助合适的知识载体，系统设计规划科学思维发展。
教科书借助不同内容全面体现了促进科学思维能力发展的课程目标通过对丰富的圆周运动实际问题情境进行抽象、概括形成质点在水平面和竖直平面内的圆周运动模型，来发展学生的模型建构能力通过分析圆周运动线速度、角速度与周期的关系，应用极限思想分析圆周运动在极短时间内的速度变化量分析向心加速度大小与方向等具体问题，来发展学生的科学推理能力。
通过分析向心加速度与圆周运动的半径之间的关系、向心力来源等问题，来发展学生的科学论证能力通过讨论向心加速度与圆周运动半径的关系，把地球看作巨大的拱形桥讨论汽车“飞离”地面的速度等具体问题，来发展学生的质疑与创新能力。
教科书通过设置合适的内容引导学生反省，促进所学知识的融会贯通，形成解决问题的认知策略例如，在“向心加速度”一节的“思考与讨论”中设计了讨论向心加速度与圆周运动的半径是成正比还是反比的问题，试图引导学生明白在实际问题中物理量之间成正比与反比的条件，体会物理与数学的关系。
在“生活中的圆周运动”一节中讨论了汽车过拱形桥的问题，然后在这个基础上，通过“思考与讨论”栏目，引导学生思考：把地球看出一个巨大的拱形桥，汽车速度达到多大时，汽车对地面的压力为零这个问题为后面讨论航天器在万有引力作用下的圆周运动做好了铺垫。
把地球看出一个巨大的拱形桥，引导学生展开想象的“翅膀”，发展学生想象力，有利于激发学生的物理学习兴趣3. 注重丰富学生对客观世界的体验，在体验中深化认识本章内容比较抽象，做圆周运动物体的速度不断在变化，同时力也不断变化，使学生感到困难。
增加学生的体验是突破难点的重要方式体验的获得离不开真实的物理情境，学生通过建立知识与情境之间的联系，促进知识的情境化教科书选择的大量实例与学生的日常生活有关，例如自行车、游乐项目、汽车等等，这些实例容易唤醒学生的体验，不仅可以帮助学习有效突破学习难点，还可以培养学生的实践意识。
教科书还通过“做一做”等栏目设计体验性实验，帮助学生丰富感性认识，为探究实验做好铺垫在探究向心力大小的表达式之前，教科书在“做一做”栏目中安排了“感受向心力”的体验性实验，引导学生首先体验向心力大小与物体质量、圆周运动的半径、线速度等物理量之间的关系，有利于学生在探究实验前提出有依据的猜想假设，有利于培养学生的实践意识。
建构物理概念的意义，或者说引入物理概念的必要性，一直是学生在学习中容易忽视的，也是物理教学的薄弱环节教科书通过“问题”等栏目，丰富学生体验，引导学生体会建立概念的必要性，体会实践与理论的关系例如，在“圆周运动”一节中，通过比较自行车大、小齿轮边缘上的点，以及同一齿轮上到转轴距离不同的点运动的快慢，引导学生体会建立线速度和角速度等物理量来描述圆周运动的必要性。
在“向心力”一节中，则在“问题”栏目中，以游乐场里的空中飞椅项目为情境，引导学生体会做圆周运动的人的受力情况，丰富学生对向心力的感性认识，为提出向心力概念提供基础在教科书结构安排上也体现了从学生的体验入手，逐步上升到理性认识，理性认识再回到生活实际中去的基本理念。
向心力相对于向心加速度更具感性特征，因此教科书在描述圆周运动的基础上，从感受向心力的大小和方向、探究向心力大小的影响因素入手，然后应用牛顿第二定律分析向心加速度的大小和方向4. 紧密联系实际，在真实情境中促进学生素养全面发展
科学态度与社会责任的形成无法通过直接说教达成教科书注重通过实例引导学生进行理性思维，通过分析、解决问题的过程，晓之以理，动之以情概括起来，教科书主要通过两个途径，来侧重培养学生的科学态度和社会责任：一个是在课文的正文中引导学生认识科学的价值，解释日常生活现象，培养学生的社会责任；另一个是在“练习与应用”中设置有针对性题目，在真实的物理情境中引导学生通过计算推理、分析、反思，或者对运算结果赋予实践意义，引导学生情感的投入，培养学生的社会责任感。
例如，教科书正文介绍了离心运动的危害，解释为什么在公路弯道处车辆不允许超过规定的速度，引导学生理性认识交通规则，增强安全意识
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